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Analysis by Prof. Dr. Dr. h.c. mult. Stefan Hildebrandt (auth.) PDF

By Prof. Dr. Dr. h.c. mult. Stefan Hildebrandt (auth.)

ISBN-10: 3540428380

ISBN-13: 9783540428381

ISBN-10: 3662056941

ISBN-13: 9783662056943

Das vorliegende Lehrbuch ist als Leitfaden f?r eine zwei- oder dreisemestrige Analysis-Vorlesung gedacht und richtete sich an Studierende der Mathematik und Physik sowie an mathematisch interessierte Studierende der Informatik und der exakten Wissenschaften. Ausf?hrliche Beweise und Erl?uterungen sowie zahlreiche Beispiele und interessante ?bungsaufgaben eignen es sehr intestine f?r das mathematische Selbststudium. Ein klarer und ?bersichtlicher Aufbau und eine geschickte Gliederung des Stoffes erm?glichen, das erste Studium auf Kernbereiche zu beschr?nken. Dem Dozenten werden vielf?ltige M?glichkeiten geboten, je nach paintings der Vorlesung verschiedene Schwerpunkte zu setzen und geeignete Wege zur Darstellung des Stoffes zu w?hlen. Geometrische instinct und historische Motivation in Verbindung mit einer ma?vollen Abstraktion kennzeichnen diese moderne Einf?hrung in die research.

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2. Fur x :S 0 ist -x ~ 0, und somit laBt sich -x in der Form (3) darstellen. Fur x benutzt man dann die Darstellung (6) x = -Zp ... ZlZ0, ZlZ2 ... Zn ... 3. Wahlt man statt der Grundzahl "Zwei" die Grundzahl "Zehn", so flihrt ein analoger "ZehntelungsprozeB" zur ublichen Dezimaldarstellung reeller Zahlen. 8 Dualdarstellung reeller Zahlen. Satz von Bolzano-WeierstraB 41 und erhalt dann die p-adische Darstellung. Die Babylonier haben mit dem Sexagesimalsystem operiert, das auf der Grundzahl "Sechzig" beruht, wahrend die Mayas die Grundzahl 20 benutzten.

Dann gilt En fur aIle n E No mit n ~ ~ nl nl. Diese Variante des Induktionsprinzips folgt leicht aus Satz 2, wenn wir dies en auf die Aussagen E~ := E n - Hn, , n E N, anwenden. Sie ist ja nichts anderes als das Dominoprinzip, bei dem als erster nicht der Stein mit der Nummer 1, sondern der mit der Nummer nl, angestoBen wird. Beweis von (4). Die Behauptung ist jedenfalls fUr n (1 + a)2 = 1 + 2a + a2 > 1 + 2a = 2 richtig, denn flir a =I °. 5 Wurzeln. h. es sei ~ > l+ka fur a> -1, a¥=O. (l+a)k Dann folgt (1 + a)k+1 = (1 + a)(l + a)k > (1 + a)(l + ka) = 1 + (k + l)a + ka 2 > 1 + (k + l)a.

Definition 1. h. (1) IXn - xol -t 0 gilt. Man nennt dann Xo den Grenzwert oder Limes der Folge {xn} und schreibt (2) Xn -t Xo fur n -t 00 (oder auch : Xn -t xo) oder (3) lim Xn = Xo. n-too Eine nicht konvergente Zahlenfolge heiflt divergent. Es ist sinnvoll, von dem Grenzwert und nicht von einem Grenzwert einer konvergenten Folge {xn} zu sprechen, denn es gilt Kapitel 1. Grundlagen der Analysis 44 Proposition 1. Der Grenzwert einer konvergenten Folge {xn} ist eindeutig bestimmt. Beweis. Aus Xn -t Xo und Xn -t folgt x~ Ixo-x~l:::; Ixo-xn+xn-x~l:::; IXo-xnl+lxn-x~l-t o.

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